Controlul optim al procesului (Prelegere). Sisteme de control optime Sisteme de control optime

În cazul general, un sistem automat constă dintr-un obiect de control și un set de dispozitive care asigură controlul acestui obiect. De regulă, acest set de dispozitive include dispozitive de măsurare, dispozitive de amplificare și conversie, precum și dispozitive de acționare. Dacă combinăm aceste dispozitive într-o singură legătură (dispozitiv de control), atunci schema structurala sistemul arata asa:

LA sistem automat informații despre starea obiectului de control prin intermediul dispozitivului de măsurare sunt transmise la intrarea dispozitivului de control. Astfel de sisteme se numesc sisteme de feedback sau sisteme închise. Absența acestei informații în algoritmul de control indică faptul că sistemul este deschis. Va fi descrisă în orice moment starea obiectului de control variabile
, care se numesc coordonate de sistem sau variabile de stare. Este convenabil să le considerați coordonate - vector de stare dimensională.

Dispozitivul de măsurare oferă informații despre starea obiectului. Dacă se bazează pe măsurarea vectorială
pot fi găsite valorile tuturor coordonatelor
vector de stare
, atunci se spune că sistemul este complet observabil.

Dispozitivul de control generează o acțiune de control
. Pot exista mai multe astfel de acțiuni de control, ele formează - vector de control dimensional.

Intrarea dispozitivului de control primește acțiunea de intrare de setare
. Această acțiune de intrare conține informații despre starea obiectului. Obiectul controlului poate fi afectat de un efect perturbator
, care reprezintă sarcina sau interferența. Măsurarea coordonatelor unui obiect, de regulă, se realizează cu unele erori
, care sunt de asemenea aleatoare.

Sarcina dispozitivului de control este de a dezvolta o astfel de acțiune de control
astfel încât calitatea funcționării sistemului automat în ansamblu ar fi cea mai bună într-un anumit sens.

Vom lua în considerare astfel de obiecte de control care sunt controlabile. Adică, vectorul de stare poate fi schimbat după cum se dorește prin schimbarea vectorului de control în consecință. Vom presupune că obiectul este complet observabil.

De exemplu, poziția unei aeronave este caracterizată de șase coordonate de stat. aceasta
- coordonatele centrului de masă,
- Unghiurile Euler, care determină orientarea aeronavei în raport cu centrul de masă. Poziția aeronavei poate fi schimbată cu ajutorul ascensoarelor, capului, eleronului și prin evaziunea vectorului de tracțiune. Astfel, vectorul de control este definit după cum urmează:

- unghiul de deviere al ascensoarelor

- bine

- eleron

- împingere

Vector de stare
în acest caz este definit după cum urmează:

Este posibil să se pună problema alegerii unui control cu ajutorul căruia aeronava este transferată dintr-o stare inițială dată
la o stare finală dată
Cu cost minim combustibil sau în timp minim.

Complexitatea suplimentară în rezolvarea problemelor tehnice apare din cauza faptului că, de regulă, se impun diverse restricții asupra acțiunii de control și asupra coordonatelor stării obiectului de control.

Există restricții cu privire la orice unghi al elevatoarelor, direcției, eleronului:

- tracțiunea în sine este limitată.

Coordonatele stării obiectului de control și derivatele acestora sunt, de asemenea, supuse unor restricții care sunt asociate cu supraîncărcările permise.

Vom lua în considerare obiectele de control care sunt descrise printr-o ecuație diferențială:

(1)

Sau sub formă vectorială:

--vector de stare obiect dimensional

--vector dimensional al acţiunilor de control

- funcția părții drepte a ecuației (1)

Per vector de control
se impune o constrângere, vom presupune că valorile acesteia aparțin unei regiuni închise niste -spațiul dimensional. Aceasta înseamnă că funcția de control
aparține regiunii în orice moment (
).

Deci, de exemplu, dacă coordonatele funcției de control satisfac inegalitățile:

apoi zona este -cub dimensional.

Numim control admisibil orice funcție continuă pe bucăți
, ale căror valori în fiecare moment de timp aparține regiunii , și care poate avea discontinuități de primul fel. Rezultă că și în unele probleme de control optim soluția poate fi obținută în clasa controlului continuu pe bucăți. Pentru a selecta controlul
în funcţie de timp şi de starea iniţială a sistemului
, care determină în mod unic mișcarea obiectului de control, se cere ca sistemul de ecuații (1) să îndeplinească condițiile teoremei de existență și unicitate a soluției în domeniu
. Această zonă conține posibile traiectorii de mișcare a obiectelor și posibile funcții de control.
. Dacă intervalul de variabile este convex, atunci pentru existența și unicitatea soluției este suficient ca funcțiile

. au fost continue în toate argumentele și au avut derivate parțiale continue în raport cu variabilele

.

Ca criteriu care caracterizează calitatea sistemului, se alege un funcțional al formei:

(2)

Ca o funcție
vom presupune că este continuă în toate argumentele sale și are derivate parțiale continue în raport cu

.

ACS optim este înțeles ca cel mai bun sistem într-un anumit sens. Criteriile de optimitate pot fi diferite și depind de problema rezolvată. Cele mai comune criterii de optimitate sunt:

1) Precizia ACS sub impactul în schimbare,

2) Timp de tranziție,

3) Rentabilitatea;

Performanţă;

Criterii integrale.

Pana acum cea mai mare dezvoltare a primit 2 direcții în teoria optimității sistemelor:

1) Teoria controlului optim al mișcării sistemelor cu informații complete despre obiect și perturbări;

Teorii ale controlului optim sub perturbații aleatorii.

Pentru a implementa un control optim, este necesar:

Determinați scopul managementului. Scopul este exprimat fie printr-o funcție obiectiv, fie printr-un criteriu de optimizare.

Funcția obiectivă sau criteriul de optimizare vă permite să găsiți efectul cantitativ al oricărei soluții.

Alegeți un model pentru a analiza și a determina eficacitatea deciziei.

Să studieze toate stările mediului pentru funcționarea obiectului care afectează trecutul, prezentul și viitorul procesului de management.

La rezolvarea problemei de control optim se folosesc metode de calcul variațional, principii maxime, precum și programare dinamică și matematică.

Problema de control optim în cazul general poate fi formulată astfel:

1) Scopul managementului, reprezentat matematic sub forma unui criteriu funcțional sau de management

2) Ecuații de sistem - de obicei sunt date sub formă de ecuații de stare

3) Sistemul de ecuații la limită la momentul inițial și final.

4) Un sistem de constrângeri pe care trebuie să le satisfacă variabilele de stat și ecuațiile.

Necesar pentru a găsi:

Vectorul de control la care criteriul obiectivului de control are un extrem (max sau min).

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri controlul optim poate să nu existe, iar acest lucru nu poate fi judecat fără rezolvarea problemei. Soluția la problema găsirii controlului optim este ambiguă, adică. fiecare soluție găsită oferă un optim local. Dacă se găsesc toate optimele locale, atunci în acest caz se poate identifica un optim global. Optimul global găsit este soluția problemei de control optim.

Criterii de calitate integrale:

Performanța optima

Funcționalul are forma

Performanța optima

Criteriul de optimitate este unghiul de rotatie  pentru un anumit timp t iar functionala are forma

Economie optimă

Criteriul de optimitate este consumul de energie pentru un anumit timp iar functionalul are forma

28. Proiectarea analitică a regulatoarelor. Formularea problemei.

La studierea calității tranzitorilor în sistemele de control automat liniare, au fost introduse criterii de calitate integrală vărsată, cu ajutorul cărora procesul tranzitoriu a fost evaluat pe un interval de timp infinit. Luând în considerare criteriile integrale de calitate, ne-am asigurat că aceste criterii ne permit să stabilim parametrii controlerului, dacă este dată structura acestuia. Este posibil să punem o problemă mai generală: găsirea legii de reglementare - o funcție analitică care face legătura între coordonatele de control și acțiunea de control, livrând în același timp min la criteriul calității integrale. O astfel de proiectare optimă a ecuației diferențiale a regulatorului se numește proiectarea analitică a regulatoarelor. În ceea ce privește metodele de rezolvare și formularea problemei, această problemă este similară cu problemele de control optim.

Aceasta este o problemă variațională, în care o funcție care conectează X și U este căutată ca extremă.

În proiectarea analitică, sarcina este de a găsi o lege de control care, ținând cont de ecuațiile plantei și de condițiile la limită, să livreze min la integrala care caracterizează eroarea patratică a sistemului și să garanteze stabilitatea acestuia.

Enunțarea problemei proiectării optime a controlerelor.

Obiectul reglementării este specificat cu ajutorul ecuațiilor diferențiale, care în forma operatorului corespunde atribuirii funcției de transfer Wop(S) (sau W(S))

Se crede că perturbațiile externe nu acționează asupra sistemului, iar procesul de tranziție are loc atunci când condițiile inițiale se schimbă.

X = y 0 – y - nepotrivire

Într-un SCA liniar stabil, ca rezultat al procesului tranzitoriu, toate funcțiile de coordonate ar trebui să tindă spre 0. x 1 () = x 2 () = ... x n () = U () = 0 (2) )

Ca criteriu de optimitate alegem o integrală a formei

(3), unde V este o formă pătratică definită pozitivă.

Acestea. dacă substituim V în  (3) atunci aceasta va fi eroarea pătratică a sistemului.

Membrul U 2 în (4) caracterizează costul procesului de control, adică. costurile cu energia termică. U 2 garantează absența legilor irealizabile în regulatoarele liniare, garantează absența acțiunilor de control sub care viteza se transformă în infinit.

Însăși existența (3) garantează stabilitatea sistemului. În proiectarea analitică, sarcina este de a găsi sub formă analitică funcția Ф (U, U, x 1 ... x k) = 0 (5) - care, ținând cont de ecuațiile plantei și de condițiile la limită (1) și (2). ), ar furniza un minim la integrală ( 3).

6.2.1. Formularea și clasificarea problemelor în teoria controlului optim.În marea majoritate a problemelor pe care le-am luat în considerare, factorii asociați cu modificarea în timp a obiectelor și sistemelor studiate au fost scoși din paranteze. Poate că, dacă sunt îndeplinite anumite condiții prealabile, o astfel de abordare este constructivă și legitimă. Cu toate acestea, este, de asemenea, clar că acest lucru nu este întotdeauna acceptabil. Există o clasă extinsă de probleme în care este necesar să se găsească acțiunile optime ale unui obiect, ținând cont de dinamica stărilor sale în timp și spațiu. Metodele de rezolvare a acestora sunt subiectul teorie matematică control optim.

Într-un foarte vedere generala Problema de control optim poate fi formulată după cum urmează:

Există un obiect, a cărui stare este caracterizată de două tipuri de parametri - parametrii de stare și parametrii de control, iar în funcție de alegerea acestora din urmă, procesul de gestionare a obiectului decurge într-un fel sau altul. Calitatea procesului de control este evaluată folosind unele funcționale*, pe baza cărora se stabilește sarcina: să găsească o astfel de succesiune de valori ale parametrilor de control pentru care această funcționalitate capătă o valoare extremă.

* funcţionalitate Se numește o funcție numerică, ale cărei argumente, de regulă, sunt alte funcții.

Din punct de vedere formal, multe probleme de control optim pot fi reduse la probleme de programare liniară sau neliniară dimensiune mare, deoarece fiecare punct al spațiului de stări corespunde propriului vector de variabile necunoscute. Cu toate acestea, de regulă, mișcarea în această direcție fără a ține cont de specificul sarcinilor corespunzătoare nu conduce la algoritmi raționali și eficienți pentru rezolvarea acestora. Prin urmare, metodele de rezolvare a problemelor de control optim sunt asociate în mod tradițional cu un alt aparat matematic, provenit din calculul variațiilor și teoria ecuațiilor integrale. De remarcat, de asemenea, că, iarăși din motive istorice, teoria controlului optim s-a concentrat pe aplicații fizice și tehnice, iar aplicarea ei la rezolvarea problemelor economice este într-un anumit sens secundară. În același timp, într-o serie de cazuri, modelele de cercetare care utilizează aparatul teoriei controlului optim pot duce la rezultate semnificative și interesante.

La cele spuse mai sus, este necesar să se adauge o notă despre relația strânsă care există între metodele utilizate pentru rezolvarea problemelor de control optim și programarea dinamică. În unele cazuri, ele pot fi utilizate alternativ, în timp ce în altele se completează cu succes.

Exista abordări diferite la clasificarea problemelor de control optim. În primul rând, acestea pot fi clasificate în funcție de obiectul de control:

Ø Ø sarcini de management cu parametrii concentrați;

Ø Ø sarcini de gestionare a obiectelor cu opțiuni distribuite.

Un exemplu al primului este controlul aeronavei în ansamblu, iar cel de-al doilea este controlul unui proces tehnologic continuu.

În funcție de tipul de rezultate la care conduc controalele aplicate, există determinatși stocastică sarcini. În acest din urmă caz, rezultatul controlului este un set de rezultate descrise de probabilitățile de apariție a acestora.

În funcție de natura schimbării sistemului controlat în timp, sarcinile se disting:

Ø Ø cu discret schimbarea timpului;

Ø Ø s continuu schimbarea timpului.

Problemele de gestionare a obiectelor cu un set discret sau continuu de stări posibile sunt clasificate în mod similar. Sarcinile de control pentru sistemele în care timpul și stările se modifică discret se numesc sarcini de control. mașini de stat. În sfârșit, în anumite condiții se pot pune probleme de control al sistemelor mixte.

Multe modele de sisteme controlate se bazează pe aparat ecuatii diferentiale atât în derivate ordinare, cât și în derivate parțiale. În studiul sistemelor cu parametri distribuiți, în funcție de tipul de ecuații diferențiale parțiale utilizate, se disting astfel de probleme de control optim precum parabolice, eliptice sau hiperbolice.

Să luăm în considerare două exemple simple de probleme de gestionare a obiectelor economice.

Problemă de alocare a resurselor. Disponibil t depozite cu numere i (i∊1:m) destinate depozitării unui produs omogen. La momente discrete t∊0:(T-l) se distribuie intre obiectele de consum (clienti) cu numere j, j∊1:n. Reaprovizionarea stocului la punctele de depozitare a produselor în t-al-lea moment de timp este determinat de mărimi a i t,i∊1:m, iar nevoile clienților din acesta sunt egale cu b j t, j∊1:n. Notează prin c t i,j este costul livrării unei unități de produs din i depozit j-al-lea consumator la timp t. De asemenea, se presupune că produsul care a ajuns la depozit la momentul respectiv t, poate fi folosit incepand din momentul urmator ( t+l). Pentru modelul formulat, sarcina este de a găsi un astfel de plan de alocare a resurselor ( x t i,j} Tm X n, care minimizează costul total al livrării produselor către consumatori din depozite pe toată perioada de funcționare a sistemului.

Indicând prin x t i,j cantitatea de produs livrată j-al-lea client cu i depozitul în t- al-lea punct în timp și după z t i- cantitatea totală de produs i depozit, problema descrisă mai sus poate fi reprezentată ca problema găsirii unor astfel de seturi de variabile

care minimizează funcția

in conditii

unde volumele stocurilor inițiale ale produsului în depozite z 0 i = ž i. se presupune că sunt date.

Se numește problema (6.20)-(6.23). problema de transport dinamic al programării liniare. În ceea ce privește terminologia de mai sus, variabile independente x t i,j reprezinta parametrii de control sistem și variabilele care depind de acestea z t i- agregat parametrii de stare sisteme la un moment dat. t. Restricții z t i≥ 0 garantează că în orice moment un volum de produs care depășește cantitatea sa reală nu poate fi exportat din niciun depozit, iar restricțiile (6.21) stabilesc regulile de modificare a acestei cantități atunci când se trece de la o perioadă la alta. Constrângerile de acest tip, care stabilesc condiții asupra valorilor parametrilor de stare a sistemului, sunt de obicei numite fază.

De asemenea, observăm că condiția (6.21) este cel mai simplu exemplu de constrângeri de fază, deoarece valorile parametrilor de stare pentru două perioade adiacente sunt legate tși t+l. În cazul general, se poate stabili o dependență pentru un grup de parametri aparținând mai multor etape, eventual neadiacente. O astfel de nevoie poate apărea, de exemplu, atunci când se ține cont de factorul de întârziere a livrărilor în modele.

Cel mai simplu model dinamic al macroeconomiei. Să reprezentăm economia unei anumite regiuni ca un set P industrii ( j∊1:P), al cărui produs brut în termeni monetari la un moment dat t poate fi reprezentat ca un vector z t=(z t 1 , z t 2 ,..., z t n), Unde t∊0:(T-unu). Notează prin A t matricea costurilor directe ale cărei elemente a t i,j, reflectă costurile de producție i-a-a industrie (în termeni monetari) pentru fabricarea unei unităţi de producţie j industria în t-al-lea moment în timp. În cazul în care un X t= ║x t i,j║n X m- o matrice care specifica normele specifice de productie i industria va extinde producția în j industria, și la or = (la or 1 , la or 2 , ..., la tn) este vectorul volumelor de producție ale sectoarelor de consum care sunt utilizate pentru consum, atunci condiția pentru reproducere extinsă poate fi scrisă ca

Unde z 0 = ž - aprovizionarea iniţială de produse ale industriilor se presupune a fi dată şi

În modelul considerat, cantitățile z t sunt parametrii de stare a sistemului și X t- parametri de control. Pe baza acesteia, pot fi stabilite diverse sarcini, un reprezentant tipic al cărora este problema producției optime a economiei în acest moment. T la o anumită stare dată z*. Aceasta sarcina se reduce la găsirea unei succesiuni de parametri de control

satisfacerea conditiilor (6.24)-(6.25) si minimizarea functiei

6.2.2. Cea mai simplă problemă de control optim. Una dintre tehnicile folosite pentru rezolvarea problemelor extreme este izolarea unei probleme care admite o soluție relativ simplă, la care alte probleme pot fi reduse în viitor.

Luați în considerare așa-numitul cea mai simplă problemă de control. Ea arata ca

Specificul condițiilor problemei (6.27)-(6.29) este că funcțiile de control al calității (6.27) și constrângerile (6.28) sunt liniare în raport cu z t, în același timp și funcția g(t, x t) din (6.28) poate fi arbitrară. Ultima proprietate face ca problema să fie neliniară chiar și pentru t=1, adică în versiunea statică.

Ideea generală de rezolvare a problemei (6.27)-(6.29) se reduce la „împărțirea” ei în subsarcini pentru fiecare moment individual de timp, în ipoteza că acestea sunt rezolvabile cu succes. Să construim pentru problema (6.27)-(6.29) funcția Lagrange

unde λ t- vectorul multiplicatorilor Lagrange ( t∊0:T). Constrângerile (6.29), care sunt de natură generală, nu sunt incluse în funcția (6.30) în acest caz. Să-l scriem într-o formă puțin diferită

Condiții necesare pentru extremul funcției Ф (x, z,λ) prin mulţimea vectorilor z t sunt date de sistemul de ecuații

Care e numit sistem pentru variabile conjugate. După cum puteți vedea, procesul de găsire a parametrilor λ tîn sistemul (6.32) se efectuează recurent în ordine inversă.

Condiții necesare pentru extremul funcției Lagrange în variabilele λ t va fi echivalent cu constrângerile (6.28) și, în final, condițiile pentru extremul său față de mulțimea vectorilor x t∊X t, t∊1:(T-1) trebuie găsită ca urmare a rezolvării problemei

Astfel, problema găsirii unui control optim se reduce la găsirea de controale suspecte de optimitate, adică cele pentru care conditie necesara optimitatea. Aceasta, la rândul său, se rezumă la găsirea unor astfel de lucruri t, t, t, îndeplinind sistemul de condiții (6.28), (6.32), (6.33), care se numește discret Pontryagin principiu maxim.

Teorema este corectă.

Dovada.

Lăsa t, t, t, satisface sistemul (6.28), (6.32), (6.33). Apoi din (6.31) și (6.32) rezultă că

şi pentru că t satisface (6.33), atunci

Pe de altă parte, datorită (6.28) rezultă din (6.30) că pentru orice vector t

Prin urmare,

Aplicând teorema (6.2), precum și prevederile teoriei programării neliniare referitoare la legătura dintre soluția unei probleme extreme și existența unui punct de șa (vezi Sec. 2.2.2), concluzionăm că vectorii t, t sunt o soluție la cea mai simplă problemă de control optim (6.27)-(6.29).

Ca urmare, avem logic un circuit simplu rezolvarea acestei probleme: din relaţiile (6.32) se determină variabilele conjugate t, apoi în cursul rezolvării problemei (6.33) se găsesc controalele t iar mai departe de (6.28) - traiectoria optimă a stărilor t,.

Metoda propusă aparține rezultatelor fundamentale ale teoriei controlului optim și, așa cum am menționat mai sus, este importantă pentru rezolvarea multor probleme mai complexe, care, într-un fel sau altul, sunt reduse la cele mai simple. În același timp, sunt evidente și limitele utilizării sale eficiente, care depind în întregime de posibilitatea de rezolvare a problemei (6.33).

CONCEPTE CHEIE

Ø Ø Joc, jucător, strategie.

Ø Ø Jocuri cu sumă zero.

Ø Ø Jocuri Matrix.

Ø Ø Jocuri antagoniste.

Ø Ø Principiile maximin si minimax.

Ø Ø Punctul de șa al jocului.

Ø Ø Pretul jocului.

Ø Ø Strategie mixtă.

Ø Ø Teorema principală a jocurilor matriceale.

Ø Ø Problemă dinamică de transport.

Ø Ø Cel mai simplu model dinamic al macroeconomiei.

Ø Ø Cea mai simplă problemă de control optim.

Ø Ø Principiul de maxim Pontryagin discret.

ÎNTREBĂRI DE TEST

6.1. Formulați pe scurt subiectul teoriei jocurilor ca disciplină științifică.

6.2. Care este sensul cuvântului „joc”?

6.3. Pentru a descrie în ce situații economice poate fi aplicat aparatul teoriei jocurilor?

6.4. Ce este un joc antagonist?

6.5. Ce definește în mod unic jocurile matrice?

6.6. Care sunt principiile maximin și minimax?

6.7. În ce condiții putem spune că jocul are un punct de șa?

6.8. Dați exemple de jocuri care au și nu un punct de șa.

6.9. Ce abordări există pentru a determina strategiile optime?

6.10. Ce se numește „prețul jocului”?

6.11. Definiți termenul „strategie mixtă”.

BIBLIOGRAFIE

1. Abramov L. M., Kapustin V. F. Programare matematică. L., 1981.

2. Ashmanov S.A. Programare liniară: Proc. indemnizatie. M., 1981.

3. Ashmanov S. A., Tikhonov A. V. Teoria optimizării în sarcini și exerciții. M., 1991.

4. Bellman R. Programare dinamică. M., 1960.

5. Bellman R., Dreyfuss S. Probleme aplicate de programare dinamică. M., 1965.

6. Gavurin M.K., Malozemov V.N. Probleme extreme cu constrângeri liniare. L., 1984.

7. Gass S. Programare liniară (metode și aplicații). M., 1961.

8. Gale D. Teoria liniară modele economice M., 1963.

9. Gill F., Murray W., Wright M. Optimizare practica / Per. din engleza. M., 1985.

10. Davydov E. G. Cercetare operațională: Proc. indemnizatie pentru studentii universitari. M., 1990.

11. Danzig J. Programarea liniară, generalizările și aplicațiile sale. M., 1966.

12. Eremin I. I., Astafiev N. N. Introducere în teoria programării liniare și convexe. M., 1976.

13. Ermoliev Yu.M., Lyashko I.I., Mikhalevich V.S., Tyuptya V.I. Metode matematice de cercetare operațională: Proc. indemnizație pentru universități. Kiev, 1979.

14. Zaichenko Y.P. Cercetare operațională, ed. a II-a. Kiev, 1979.

15. Zangwill W.I. Programare neliniară. Abordare unificată. M., 1973.

16. Zeutendijk G. Metode de direcții posibile. M., 1963.

17. Karlin S. Metode matematice în teoria jocurilor, programare și economie. M., 1964.

18. Karmanov V. G. Programare matematică: Proc. indemnizatie. M., 1986.

19. Korbut A.A., Finkelyitein Yu. Yu. Programare discretă. M., 1968.

20. Kofman A., Henri-Laborder A. Metode și modele de cercetare operațională. M., 1977.

21. Künze G.P., Crelle V. Programare neliniară. M., 1965.

22. Lyashenko I.N., Karagodova E.A., Chernikova N.V., Shor N.3. Programare liniară și neliniară. Kiev, 1975.

23. McKinsey J. Introducere în teoria jocurilor. M., 1960.

24. Mukhacheva E. A., Rubinstein G. Sh. Programare matematică. Novosibirsk, 1977.

25. Neumann J., Morgenstern O. Teoria jocurilor și comportamentul economic. M, 1970.

26. Ore O. Teoria grafurilor. M., 1968.

27. Taha X. Introducere în cercetarea operațională / Per. din engleza. M., 1985.

28. Fiakko A., McCormick G. Programare neliniară. Metode de minimizare secvențială necondiționată. M., 1972.

29. Hadley J. Programare neliniară și dinamică. M., 1967.

30. Yudin D.B., Holstein E.G. Programare liniară (teorie, metode și aplicații). M., 1969.

31. Yudin D.B., Holstein E.G. Programare liniară. Teorie și metode finite. M., 1963.

32. Lapin L. Metode cantitative pentru deciziile de afaceri cu cazuri. A patra editie. HBJ, 1988.

33. Liitle I.D.C., Murty K.G, Sweeney D.W., Karel C. Un algoritm de călătorie pentru problema vânzătorului ambulant. - Cercetări operaționale, 1963, vol. 11, nr. 6, p. 972-989/ rusă. traducere: Little J., Murthy K., Sweeney D., Kerel K. Algoritm pentru rezolvarea problemei vânzătorului ambulant. - În cartea: Economie și metode matematice, 1965, vol. 1, nr. 1, p. 94-107.

CUVÂNT ÎNAINTE ................................................. ............................................................. ............ ................................................ ........................................................... .......... ..... 2

INTRODUCERE ............................................................. . ................................................. ................................................. . ................................................ .. ........... 3

CAPITOLUL 1. PROGRAMARE LINEARĂ ................................................ ................ ................................. .................................................. ......... opt

1.1. FORMULAREA PROBLEMEI PROGRAMĂRII LINEARĂ .................................................. ................................................... ................ 9

1.2. PRINCIPALE PROPRIETĂȚI ALE ZLP ȘI PRIMA SA INTERPRETARE GEOMETRICĂ............................................ .................................................. .unsprezece

1.3. SOLUȚII DE BAZĂ ȘI A DOUA INTERPRETARE GEOMETRICĂ A ZLP............................................ .................................................. .......... cincisprezece

1.4. METODĂ SIMPLEX.................................................. ................................................. . ................................................ .. ....................................... 17

1.5. METODA SIMPLEX MODIFICATA.................................................. ................................................... ................. ................................ ......... 26

1.6. TEORIA DUALITĂȚII ÎN PROGRAMAREA LINEARĂ.................................................. ..................................... ............. ............................. treizeci

1.7. METODA DUBLĂ SIMPLEX.................................................. ................................................... ................. ................................ ............. .37

CONCEPTE CHEIE................................................ ................................................... .............................................................. ............................................................. .42

ÎNTREBĂRI DE TEST ............................................... ................................................. . ................................................ .. ............................. 43

CAPITOLUL 2. PROGRAMARE NELINIARĂ ............................................. ..................... ................................ ............................. ................................. ... 44

2.1. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE PROGRAMARE NELINIARĂ............................................ ...................................... ............ ............................. 44

2.2. DUALITATE ÎN PROGRAMAREA NELINIARĂ.................................................. ................................... .............. ................................... ... 55

CONCEPTE CHEIE................................................ ......................................................... .............................................................. ............................................................. ........... 59

CAPITOLUL 3. SARCINI DE TRANSPORT ȘI DE REȚEA ........................................... ................................................... ................. ................................ ... 60

3.1. PROBLEMA DE TRANSPORT ȘI METODE DE SOLUȚIONARE A SA .................................................. ................................................... .............................................. 60

3.2. SARCINI DE REȚEA................................................... ................. ................................ ................ ................................. .................................................. ............. 66

CAPITOLUL 4. PROGRAMARE DISCRETA ................................................ ................ ................................. .................................................. .. 74

4.1. TIPURI DE SARCINI DE PROGRAMARE DISCRETE.................................................. ..................................... ............. ................................... .............. ..... 74

4.2. METODA GOMORY................................................... .. ................................................ . ................................................. ................................................. 78

4.3. METODĂ DE RAMIFICARE ȘI LEGĂTARE............................................. ........................................................ ........................................................ ....... ......................... 81

CONCEPTE CHEIE................................................ ......................................................... .............................................................. ............................................................. .86

CAPITOLUL 5. PROGRAMARE DINAMICĂ ............................................. ................ ................................. ............................................. 86

5.1. SCHEMA GENERALĂ A METODELOR DE PROGRAMARE DINAMICĂ............................................ ...................................... ............ ........................ 86

5.2. EXEMPLE DE SARCINI DE PROGRAMARE DINAMICĂ.............................................. ..................................... ............. .................................... .... 93

CAPITOLUL 6. PREZENTARE GENERALĂ A ALTOR SECȚIUNI ALE STUDIULUI OPERAȚIUNILOR....................................... .................................................... 101

6.1. TEORIA JOCULUI................................................ ................................................. . ................................................ .. ............................................... 101

6.2. TEORIA CONTROLULUI OPTIM.................................................. ................................................... .................................................. ......................... 108

ÎNTREBĂRI DE TEST ............................................... ................................................. . ................................................ .. ..................... 112

BIBLIOGRAFIE................................................. . ................................................ .. ............................................... ... ................................. 112

Instituție de învățământ de stat

studii profesionale superioare

Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova

(Universitate de stat)

APROBA

Prorector pentru Afaceri Academice

Yu.A.Samarsky

„____” _______________ 2004

PROGRAM

pe curs: CONTROL OPTIM

in directia 511600

Facultatea FUPM

Departamentul de Fundamente Matematice ale Controlului

bine IV

semestrul 7, 8

prelegeri - 50 de ore. Examen - 8 semestru

seminarii - 50 de ore. Credit – semestrul 7

laboratoare - nr

Muncă independentă - 2 ore pe săptămână

TOTAL ORE 100

Programul și sarcina au fost întocmite de: doctor în științe fizice și matematice, profesorul Zhadan V.G.

Şeful Departamentului S.A. gâscă

1. Principala problemă a controlului optim. Principiul maxim L.S Pontryagin (principiul minimului). Notație canonică. Principiul maxim pentru sistemele care conțin parametri de control.

2. Probleme cu un capăt drept mobil. condiţiile de transversalitate. Problemele lui Lagrange și Bolz. Probleme Mayer și Lagrange cu timpul nefixat de terminare a procesului. Sarcina de viteză. O problemă cu un capăt stânga mobil.

3. Dovada principiului maxim L.S. Pontryagin pentru problema Mayer. Conceptul de variație a acului. Lema Gronwall–Bellman. Contabilizarea optimizării prin parametru de control.

4. Legatura principiului maximului cu calculul variatiilor. ecuația lui Euler. Primele integrale ale ecuației lui Euler. Condițiile lui Weerstrass, Legendre și Jacobi. ecuația Jacobi. Condiții Weerstrass–Erdmann.

5. Sisteme liniare. Principiul maxim pentru sisteme liniare. Teoremă asupra unui număr finit de puncte de comutare.

6. Set de accesibilitate pentru sisteme liniare. Control Extremși principiul extrem.

7. Controlabilitatea punctului pentru sisteme liniare. Criteriul controlabilității punctului. Teorema lui Kalman privind controlabilitatea punctului. Controlabilitatea completă a sistemelor liniare. Teorema lui Kalman privind controlabilitatea completă a sistemelor autonome.

8. Problema observabilitatii. Criteriul de observabilitate pentru un sistem liniar. Observarea stării inițiale. Relația dintre observabilitate și controlabilitate. Criteriul pentru observabilitatea completă a unui sistem staționar.

9. Formalismul Lagrange și utilizarea lui pentru rezolvarea problemelor de control optim. Problema sintezei optime a controlului.

10. Problema identificării. Criteriul de identificare. Un criteriu pentru identificarea completă a unui sistem staționar.

11. Sisteme cu laturile drepte discontinue. Condiție de săritură.

12. Conceptul de sisteme invariante. Proprietăți sisteme dinamice. Câmpul de referință al impulsurilor. Condiții necesare și suficiente pentru invarianță. functie corectiva.

13. Condiții suficiente pentru optimitate. Câmpul extremelor. Legătura cu suficiente condiții Weerstrass pentru problema clasică a calculului variațiilor.

14. Elemente ale teoriei programării dinamice. Conditii necesare optimitatii. Condiții de optimitate suficiente. Ecuația Bellman. Derivarea principiului maximului din programarea dinamică. Legătura cu calculul variațiilor.

15. Metode de rezolvare a problemelor cu valori la limită. Aplicarea metodei lui Newton. Transferul condițiilor limită. Metoda baleiaj pentru probleme neliniare.

16. Metode numerice bazate pe analiza secvenţială a variantelor. Metoda măturii de la Kiev, metoda tubului rătăcitor, metoda variațiilor locale.

17. Metode numerice bazate pe reducerea la probleme de programare neliniară. Calculul derivatelor în raport cu componentele vectorului de control în cazul proceselor discrete. Metoda pedepsei, metoda funcțională încărcată.

18. Principiul minim discret. Inegalități variaționale. Aplicarea metodei gradientului condiționat pentru rezolvarea problemelor de control optim. Principiul cvasi-minimului.

19. Condiţii de optimitate suficiente V.F. Krotov pentru procese continue și discrete. Aplicarea V.F. Krotov pentru rezolvarea problemelor liniare.

20. Controale speciale. Definirea controalelor speciale folosind paranteze Poisson. Condițiile Kelly și Kopp-Moyer.

BIBLIOGRAFIE

1. Moiseev N.N. Metode numerice în teoria sistemelor optime. – M.: Nauka, 1971.

2. Evtușenko Yu.G. Metode de rezolvare a problemelor extreme și aplicarea lor în sisteme de optimizare. – M.: Nauka, 1982.

3. Moiseev N.N., Ivanilov Yu.P., Stolyarova E.M. Metode de optimizare. – M.: Nauka, 1987.

4. Pontryagin L.S., Boltyansky V.G., Gamkrelidze Z.V., Mishchenko E.F. Teoria matematică a proceselor optime. – M.: Fizmatgiz, 1961.

5. Vasiliev F.P. Metode de rezolvare a problemelor extreme. – M.: Nauka, 1988.

6. Gabasov R., Kirillova F.M. Principiul maxim în teoria controlului optim. - Minsk: Știință și tehnologie, 1974.

7. Fleming W., Richel R. Controlul optim al sistemelor deterministe și stocastice. – M.: Mir, 1978.

8. Fundamentele teoriei controlului optim /Editat de V.F. Krotov.- M .: Liceu, 1990.

9. Lee E.B., Marcus P. Fundamentele teoriei controlului optim. Moscova: Nauka, 1972.

10. Gabasov R., Kirillova F.M. Controale optime speciale. – M.: Nauka, 1973.

Sarcina poate fi vizualizată

ADNOTARE

Acest manual prezintă condițiile de bază de optimitate și metodele de rezolvare a problemelor de calcul al variațiilor și control optim. Va fi util pentru pregătirea și desfășurarea orelor practice la secțiunea „Control optim”, precum și pentru studenții care își fac temele pe această temă.

Tutorial este versiunea electronică a cărții:
Control optim în exemple și probleme. Sotskov A.I., Kolesnik G.V. - M.: Şcoala Rusă de Economie, 2002 - 58 p.

cuvânt înainte

1. Cea mai simplă problemă a calculului variațiilor.
ecuația lui Euler
Exemple
Exerciții

2. Problema controlului optim. Principiul maxim
Exemple
Exerciții

3. Constrângeri de fază în problema de control optim
Exemple
Exerciții

4. Programarea dinamică și ecuația Bellman
Exemple
Exerciții

Literatură

cuvânt înainte

Teoria controlului optim este una dintre secțiunile cursului „Matematică pentru economiști” predat la Școala Economică Rusă.
Experiența de predare arată că această secțiune este una dintre cele mai greu de stăpânit. Acest lucru se datorează în primul rând diferențelor conceptuale dintre problemele de control optim studiate în acesta și problemele de optimizare dimensională finită și, ca urmare, cu o complicație semnificativă a condițiilor de optimitate utilizate în acestea.
În acest sens, pare util să oferim o ilustrare clară a aplicării acestor condiții de optimitate la rezolvarea problemelor tipuri variate. Acest manual este o încercare de a oferi o astfel de ilustrare. Conține exemple și sarcini pe patru subiecte:
. calculul variațiilor;
. principiul maxim în probleme fără restricții;
. principiul maxim în prezența restricțiilor de fază;
. programare dinamică.
Fiecare secțiune constă dintr-o parte teoretică care descrie conceptele de bază și rezultatele utilizate în rezolvarea problemelor corespunzătoare, exemple cu soluții, precum și probleme pentru muncă independentă elevi.
Trebuie subliniat faptul că acest manual nu este deloc un curs teoretic, ci se concentrează în primul rând pe aplicarea practică a metodelor optime de control. Ca ghid teoretic pentru aceasta sectiune poti recomanda, de exemplu, o carte.
Potrivit autorilor, acest manual va fi util profesorilor în pregătirea și desfășurarea orelor practice la secțiunea „Control optim”, precum și elevilor atunci când își fac temele pe această temă.

Versiune electronica cărți: [Descărcare, PDF, 633,8 KB].

Adobe Acrobat Reader este necesar pentru a vizualiza cartea în format PDF. versiune noua care poate fi descărcat gratuit de pe site-ul Adobe.