Problema 4. Câte numere pare din două cifre cu cifre diferite există?

Soluţie. Fie α = α1 α2 un număr par de două cifre cu cifre diferite. Apoi α2 (0,2,4,6,8) și α 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) \ (α 2 }.

Dacă α1 este o cifră impară, i.e. α1 (1, 3, 5, 7, 9), obținem că prima cifră a lui α1 poate fi aleasă în 5 moduri.

Pentru fiecare alegere a primei cifre α1, a doua cifră α2 poate fi aleasă în 5 moduri.

Conform regulii produsului, obținem că există 5 5 \u003d 25 de numere pare din două cifre a căror prima cifră este impară.

Dacă α1 este o cifră pară, atunci α1 (2, 4, 6, 8) și α 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (α 1 ), adică. elementul α2 poate fi ales în 4 moduri.

Conform regulii produsului, numărul α poate fi ales în 4 4 = 16 moduri.

Problema 5. Câte numere din patru cifre există, divizibil cu 5, în care toate cifrele sunt diferite?

Soluţie. Fie А =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) un set de cifre, α= α1 α2 α3 α4 un număr de patru cifre, unde α1 A\(0) ,

α4 (0,5)\(α1 ),α2 A\(α1 ,α4 ),α3 A\(α1 ,α2 ,α4 ).

Dacă α4 =0, atunci α1 poate fi ales în 9 moduri, α2 poate fi ales în 8 moduri și α3 în 7 moduri. După regula produsului, obținem acel număr

α poate fi obținut în 9 8 7 = 504 moduri. Dacă α 4 =5, apoi α1 A\(0, 5 ), adică. cifra α1 poate fi

este ales în 8 moduri, α2 poate fi ales în 8 moduri și α3 în 7 moduri. Conform regulii produsului

obținem că numărul α poate fi ales în 8 8 7=448 moduri.

Astfel, folosind regula sumei, obținem că există 504 + 448 = 952 numere din patru cifre divizibile cu 5, în care toate cifrele sunt diferite.

Aceeași problemă poate fi rezolvată în alt mod.

Considerăm un număr par de două cifre α = α1 α2 , unde α1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) și α 2 (0, 2, 4, 6, 8).

În această problemă, trebuie să determinați câte numere din patru cifre există.

Numărul de numere din patru cifre

  • Să stabilim câte numere din patru cifre există.
  • Un număr format din patru cifre este un număr format din patru cifre: unități, zeci, sute și mii. Cu cuvinte simple Un număr din patru cifre este un număr care are exact patru cifre.
  • Primul număr cunoscut de patru cifre este 1000.
  • Ultimul număr cunoscut din patru cifre este 9999.
  • Aflați numărul de numere din patru cifre. Sunt posibile două opțiuni: primele 999 de numere naturale sunt scăzute din ultimul număr de patru cifre (9999). Obținem: 9999 - 999 = 9000.
  • A doua modalitate: 9999 - 1000 + 1 = 9009. Adăugăm unul, deoarece o mie este și un număr de patru cifre și pur și simplu scăzându-l, îl pierdem din total.
  • De asemenea, puteți determina numărul total de cifre.

Determinați numărul de cifre

A devenit cunoscut faptul că un număr din patru cifre este format din 4 cifre, cu alte cuvinte, din 4 cifre. De asemenea, s-a calculat că sunt cunoscute un total de 9000 de numere din patru cifre. Apoi obținem: 9000 * 4 = 36000.

Răspuns: sunt 9.000 de numere din patru cifre în total, iar dacă toate sunt scrise pe rând, atunci vor ieși 36.000 de cifre.

Clasa Cercul 5

Liderii Dmitri Vladimirovici Trushchin și Mihail Vladimirovici Sheblaev
Anul universitar 2012/2013

Combinatorică (17 noiembrie 2012)

Magazinul vinde cinci tipuri de cești și trei tipuri de farfurioare. În câte moduri vă puteți alege ceașca și farfuria? Câte numere din patru cifre sunt care conţin a) numai cifre pare; b) cel puțin o cifră pară? Sunt 11 oameni în echipa de fotbal. În câte moduri poți alege a) un căpitan și un adjunct; b) doi atacatori?

Instruire. Puneți mai întâi o piesă pe tablă. În câte moduri se poate face acest lucru? Apoi, pentru fiecare dintre aceste moduri, numărați câte metrouri puteți pune o altă piesă pe tablă fără ca acestea să se lovească între ele.

Direcția 2.În paragraful b), luați în considerare 3 cazuri diferite în funcție de numărul de pătrate pe care puteți pune al doilea rege.

Soluţie.

a) Puneți întâi turnul negru. Acest lucru se poate face în 8 8 = 64 de moduri. Pentru ca turnul alb să nu o bată, este necesar să o plasați într-o altă orizontală și verticală, adică vor fi 8 - 1 = 7 orizontale libere pentru ea și 8 - 1 = 7 verticale. este, puteți pune un turn alb cu unul negru deja plasat · 7 = 49 de moduri. Deoarece pentru fiecare dintre cele 64 de moduri de a plasa turnul negru vor exista 49 de moduri de a plasa turnul alb, numărul total de moduri de a plasa ambele va fi 64 49 = 3136.


b) Să punem pe primul loc pe regele negru. Câte moduri vor mai fi apoi pentru a se alb? Să luăm în considerare diferite cazuri:

Dacă regele negru este în colțul tablei, atunci regele alb nu poate fi plasat pe 4 celule, adică puteți paria pe una din 8 8 - 4 = 60 de celule. Pe tablă sunt 4 colțuri, adică astfel de cazuri când regele negru este în colț, iar regele alb nu îl bate, 4 60 = 240.

În plus, dacă regele negru este pe marginea tablei (nu în colț), atunci regele alb nu poate fi plasat pe 6 celule, adică puteți paria pe 64 - 6 = 58 de celule. Pe fiecare dintre cele 4 laturi ale tablei există 8 - 2 = 6 celule, unde regele negru va sta pe margine, dar nu în colț, adică în total vor exista 4 6 58 = 1392 astfel de opțiuni pentru aranjarea ambilor regi.

1. Câte numere diferite din patru cifre sunt care folosesc doar cifre pare?

Soluţie:

1) prima cifră poate fi orice număr par, cu excepția zero (în caz contrar, numărul nu va fi format din patru cifre) - acesta este 2, 4, 6 sau 8, există 4 opțiuni în total

Opțiuni

2) să presupunem că este selectată prima cifră; indiferent de acesta, oricare dintre numerele pare poate fi pe locul doi - 0, 2, 4, 6 sau 8, în total 5 opțiuni:

Opțiuni

3) în mod similar, constatăm că ultimele două cifre pot fi, de asemenea, alese în 5 moduri fiecare, independent una de cealaltă și de alte cifre (prima și a doua):

Opțiuni

4) numărul total de combinații este egal cu produsul

4 5 5 5 = 500

5) deci răspunsul corect este 3.

2. Câte numere din patru cifre sunt în care toate cifrele sunt diferite?

Soluţie:

1) prima cifră poate fi orice cifră, cu excepția zero (în caz contrar, numărul nu va fi de patru cifre), doar 9 opțiuni

Opțiuni

2) să presupunem prima cifră X selectat; locul doi poate fi orice număr y, In afara de asta X, un total de 9 opțiuni (zero poate fi și!):

Opțiuni

3) a treia cifră z poate fi oricine, cu excepția celor doi care sunt deja pe primele două locuri, doar 8 opțiuni:


Opțiuni

4) în cele din urmă, a patra cifră poate fi oricare dintre cele 7 rămase (nu este egală X, yși z)

Opțiuni

5) numărul total de combinații este egal cu produsul

9 9 8 7 = 4536

6) deci răspunsul corect este 2.

3. Câte numere diferite din patru cifre sunt cu exact două nouă în picioare unul lângă altul?

Soluţie:

1) sunt posibile trei cazuri: 99 , 99 și 99, unde punctul aldine denotă o cifră diferită de 9

2) pentru fiecare dintre aceste cazuri, trebuie să numărați numărul de opțiuni și să adăugați aceste numere

3) în opțiunea 99·· ultimele două cifre pot fi orice, cu excepția nouă (9 opțiuni fiecare):

Opțiuni

deci în total obținem 1 1 9 9 = 81 de opțiuni

4) în opțiunea 99, prima cifră nu poate fi zero și nouă (răman 8 opțiuni), iar ultima poate fi orice, cu excepția nouă (9 opțiuni):

Opțiuni

deci în total obținem 8 1 1 9 = 72 de opțiuni

5) în opțiunea ··99, prima cifră nu poate fi zero și nouă (răman 8 opțiuni), iar ultima poate fi orice, cu excepția nouă (9 opțiuni):

Opțiuni

deci în total obținem 8 9 1 1 = 72 de opțiuni

6) numărul total de opțiuni este egal cu suma

81 + 72 + 72 = 225

4. Câte numere diferite din patru cifre există cu cel mult două cifre diferite?

Soluţie:

1) notează prima cifră prin X, nu poate fi zero, deci există 9 opțiuni posibile

Opțiuni

2) o altă cifră se notează cu y, poate fi ales și în 9 moduri (poate fi zero, dar nu poate fi egal cu X)

3) trei cazuri trebuie luate în considerare separat: X y··, xxxy· și xxx·; pentru fiecare dintre aceste cazuri, trebuie să calculați numărul de opțiuni și să adăugați aceste numere

4) în opțiune X y Ultimele două cifre pot fi alese (independent) să fie egale X sau y(2 variante fiecare):

X sau y

X sau y

Opțiuni

deci în total obținem 9 9 2 2 = 324 de opțiuni

5) în opțiune xxxy Ultima cifră poate fi doar X sau y(2 variante):

X sau y

Opțiuni

deci în total obținem 9 1 9 2 = 162 de opțiuni

6) în opțiune xxx Ultima cifră poate fi oricare (10 opțiuni):


X sau y

Opțiuni

deci în total obținem 9 1 1 10 = 90 de opțiuni

7) numărul total de opțiuni este egal cu suma

324 + 162 + 90 = 576

8) deci răspunsul corect este 3.

5. Câte numere diferite din patru cifre există în care toate cifrele sunt impare și cel puțin una dintre ele este egală cu 5?

Soluție (opțiunea 1):

1) luați în considerare patru opțiuni: 5···, ·5··, ··5· și ···5; pentru fiecare dintre aceste cazuri, trebuie să calculați numărul unic opțiuni (excluzând toate cele comune!) și adăugați aceste numere

2) în cazul lui 5 ···, ultimele trei cifre pot fi orice impare (fiecare 5 opțiuni independente):

Opțiuni

deci în total obținem 1 5 5 5 = 125 de opțiuni

3) la prima vedere, pentru cazul ·5·· situația este aceeași, dar nu este cazul; fapt este că unele dintre aceste opțiuni (cu primele cinci) au intrat deja în prima grupă 5···, așa că nu trebuie să fie luate în considerare a doua oară; aceasta înseamnă că, în primul rând, poate fi una dintre cele 4 cifre - 1, 3, 7 sau 9:

Opțiuni

în total obținem 4 1 5 5 = 100 de opțiuni

4) având în vedere cazul ··5·, trebuie să renunți la toate variantele în care cincisele sunt pe primele două locuri

Opțiuni

în total obținem 4 4 1 5 = 80 de opțiuni

5) pentru 5, obținem în mod similar

Opțiuni

în total obținem 4 4 4 1 = 64 de opțiuni

6) numărul total de opțiuni

125 + 100 + 80 + 64 = 369 de opțiuni

7) deci răspunsul corect este 2.

Soluție (opțiunea 2):

1) toate numerele care constau numai din cifre impare pot fi împărțite în două grupuri: cele în care există un cinci și cele în care nu este

2) numărul total de numere format numai din cifre impare se găsește similar cu prima problemă luată în considerare; ținând cont că între ele nu există zero, obținem

5 5 5 5 = 625 de opțiuni

3) acum, în mod similar, găsim numărul de numere format numai din numerele 1, 3, 7 și 9 (fără cele cinci); deoarece fiecare dintre cele 4 locuri poate conține una dintre cele 4 cifre, obținem

4 4 4 4 = 256 opțiuni

4) rezultatul de care avem nevoie este diferența

625 - 256 = 369 opțiuni

5) deci răspunsul corect este 2.

Sarcini pentru soluție independentă:

1) Câte numere din patru cifre sunt în care sunt exact două opt care nu sunt adiacente?

2) Câte numere din patru cifre sunt, formate din cifre pare diferite?

3) Câte numere din patru cifre sunt care conțin cel puțin o cifră pară?

4) Câte numere din patru cifre sunt divizibile cu 5?

5) Câte numere din patru cifre sunt, care să nu depășească 3000, în care există exact două cifre „3”?

6) La campionatul de șah au participat 40 de sportivi. Fiecare a jucat câte un joc cu fiecare. Câte jocuri s-au jucat în total?

7) În vază se află un măr, o peră, o piersică și o caisă. Katya avea voie să aleagă două fructe. Câte opțiuni are Katya?

9) Câte numere din patru cifre sunt care citesc la fel „de la stânga la dreapta” și „de la dreapta la stânga”?

10) Se formează un lanț de trei margele conform următoarea regulă: Pe primul loc în lanț se află una dintre mărgelele A, B, C. În al doilea - una dintre mărgelele B, C, D. Pe locul trei - una dintre margelele A, C, D, care nu stă în picioare în lanţ pe primul sau al doilea loc . Câte astfel de lanțuri există?

În multe probleme combinatorii, este dificil să găsim direct numărul de variante care ne interesează. Cu toate acestea, cu unele schimbări în condițiile problemei, puteți găsi numărul de opțiuni care o depășește pe cea originală de un număr cunoscut de ori. Această abordare se numește metoda numărării multiple.

1. Câte anagrame are cuvântul CLASĂ?

Dificultatea este că în acest cuvânt există două litere identice C. Le vom considera temporar diferite și vom desemna C 1 și C 2. Atunci numărul de anagrame va fi egal cu 5! \u003d 120. Dar acele cuvinte care diferă unele de altele doar printr-o permutare a literelor C 1 și C 2, de fapt, sunt aceeași anagramă! Prin urmare, 120 de anagrame sunt împărțite în perechi de unele identice, adică. numărul dorit de anagrame este 120/2 = 60.

2. Câte anagrame are cuvântul CHARADA?

Numărând trei litere A ca litere diferite A 1, A 2, A 3, obținem 6! anagramă. Dar cuvintele care se obțin unul de la celălalt doar prin rearanjarea literelor A 1, A 2, A 3, de fapt, sunt aceeași anagramă. Pentru ca sunt 3! permutări ale literelor A 1, A 2, A 3, obținute inițial 6! anagramele se împart în grupe de câte 3! identice, iar numărul de anagrame distincte este 6!/3! = 120.

3. Câte numere din patru cifre sunt care conțin cel puțin o cifră pară?

Să găsim numărul de numere din patru cifre „inutile”, în înregistrarea cărora există doar cifre impare. Există 5 4 = astfel de numere 625. Dar există 9000 de numere din patru cifre în total, deci numărul dorit de numere „necesare” este 9000 - 625 = 8375.

  1. Găsiți numărul de anagrame pentru cuvintele VERESK, BALAGAN, ORAȘ.
  2. Găsiți numărul de anagrame pentru cuvintele BAOBAB, BALADĂ, PROBLEME, ANAGRAMĂ, MATEMATICĂ, COMBINATORICĂ, APĂRARE.
  3. În câte moduri pot fi cazați 7 vizitatori în trei camere de hotel: single, duble și cvadruple?
  4. În frigider sunt două mere, trei pere și patru portocale. În fiecare zi, timp de nouă zile consecutive, lui Petya i se dă o bucată de fruct. În câte moduri se poate face acest lucru?
  5. Dintre cei mai buni șapte schiori ai școlii, trebuie selectată o echipă de trei persoane pentru a participa la competițiile din oraș. În câte moduri se poate face acest lucru?
  6. Înainte de examen, profesorul a promis că va da jumătate dintre examinați deuces. 20 de elevi au venit la examen. În câte moduri își poate ține promisiunea?
  7. Câte cuvinte pot fi făcute cu cinci A și nu mai mult de trei B?
  8. La vânzare există înghețată de ciocolată, căpșuni și lapte. În câte moduri poți cumpăra trei înghețate?
  9. La prepararea pizza se adauga branza diferite componente, oferind unul sau altul gust. Bill are la dispoziție ceapă, ciuperci, roșii, ardei și hamsii, toate care, în opinia sa, pot fi adăugate în brânză. Câte tipuri de pizza poate face Bill?
  10. Un martor al confruntării criminale și-a amintit că infractorii au fugit într-un Mercedes, al cărui număr conținea literele T, Z, Y și numerele 3 și 7 (numărul este o linie în care trec primele trei litere și apoi trei numere). ). Câte astfel de numere există?
  11. Câte diagonale sunt într-un convex n-gon?
  12. Cât este acolo n- numere de cifre?
  13. Câte numere din zece cifre sunt care conțin cel puțin două cifre identice?
  14. Zarurile sunt aruncate de trei ori. Printre secvențele posibile de rezultate, există acelea în care un șase a căzut cel puțin o dată. Câți?
  15. Câte numere din cinci cifre au numărul 1 în intrare?
  16. În câte moduri pot fi așezați regii alb și negru pe o tablă de șah, astfel încât să nu se atace unul pe celălalt?
  17. Câți divizori are 10800?